Question

（2011•路北區一模）已知正方形ABCD的邊長為4，E是CD上一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、BD、FD．
（1）BD與CF的位置關系是

平行

．
（2）①如圖，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為

8

．
②如圖，當CE=2（即點E為CD中點）時，△BDF的面積為

8

．
③如圖，當CE=3時，△BDF的面積為

8

．
（3）如圖，根據上述計算的結果，當E是CD上任意一點時，請提出你對△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關系的猜想，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）證A、D、F共線，根據平行四邊形的判定推出平行四邊形BCFD即可；
（2）①根據三角形的面積公式求出即可；②③根據S_△BDF=S_{四邊形BCDF}-S_△BCF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF代入求出即可；
（3）由（2）求出了△BDF的面積，求出正方形的面積，即可得出答案．

解答：解：（1）正方形ABCD，等腰直角三角形CEF，
∴∠ADC=∠FDC=90°，
∴∠ADC+∠FDC=180°，
即A、D、F三點共線，
∵DF∥CB，DF=CD=BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴FC∥BD，
故答案為：平行．

（2）①△BDF的面積是

1

2

DF×AB=

1

2

×4×4=8，
故答案為：8．

②△BDF的面積是：S_{四邊形BCFD}-S_△BCF
=S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=

1

2

BC×DC+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE
=

1

2

×4×+

1

2

×4×2-

1

2

×4×2
=8，
故答案為：8．

③與②求法類似：△BDF的面積是S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

CB×EF
=

1

2

×4×4+

1

2

×4×3-

1

2

×4×3
=8，
故答案為：8．

（3）△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關系是S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．
證明：∵S_△BDF=8，
S_{正方形ABCD}=BC×CD=4×4=16，
∴S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．

點評：本題綜合考查了正方形的性質，三角形的面積，等腰直角三角形，平行四邊形的性質和判定等知識點的應用，解此題的關鍵是把要求的三角形的面積轉化成能根據已知求出的三角形的面積的和或差的形式，再根據三角形的面積公式求出每一部分的面積．