Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點P為對角線AC上一個動點，Q為CD邊上一點，且

（1）求證：PB=PQ；

（2）若BC+CQ=8，求四邊形VCQP的面積；

（3）設AP=x，ABCD的面積為y，且CQ=2，求y與x的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）16；（3）y=

【解析】試題分析：（1）如圖1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．只要證明△PEB≌△PFQ即可解決問題；

（2）只要證明S四邊形BCQP=S四邊形CEPF即可解決問題；

（3）如圖2，過P做EF∥AD分別交AB和CD于E、F．易知AE=PE=x，由△BPE≌△PQF，推出EP=AE=QF=x，由BE=CF=2+x，推出AB=2+x+x=2+x，由此即可解決問題；

試題解析：(1)證明：如圖1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=∠ACB，

∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，

∴PE=PF，

∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，

∴四邊形PECF是矩形，

∵PE=PF，

∴四邊形PECF是正方形，

∴∠EPF=∠BPQ=90°,

∴∠BPE=∠QPF,

∵∠PEB=∠PFQ=90°，

∴△PEB≌△PFQ，

∴PB=PQ.

(2)如圖1中,由(1)可知△BPE≌△PQF，四邊形PECF是正方形，

∴BE=FQ,CE=CF,S△BPE=S△PQF，

∵BC+CQ=8，

∴EC+FC=BC+CQ=8，

∴CE=CF=4,

又∵S△BPE=S△PQF，

∴S四邊形BCQP=S四邊形CEPF=16.

(3)如圖2,過P做EF∥AD分別交AB和CD于E. F.

∵AP=x，

∴AE=PE=x，

∵△BPE≌△PQF，

∴EP=AE=QF=x，

∵BE=CF=2+x，

∴AB=2+x+x=2+x，

∴y=(2+x)2=2x2+4x+4.