Question

如圖，△ABC的邊BC在直線m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的邊FE也在直線m上，邊DF與邊AC重合，且DF=EF．
（1）在圖（1）中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、思考，猜想并寫(xiě)出AB與AE所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（不要求證明）
（2）將△DEF沿直線m向左平移到圖（2）的位置時(shí)，DE交AC于點(diǎn)G，連接AE，BG．猜想△BCG與△ACE能否通過(guò)旋轉(zhuǎn)重合？請(qǐng)證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，BC=AC=DF=EF，且AC⊥BC，可知△ABC，△DEF為等腰直角三角形，得出結(jié)論；
（2）將△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后能與△ACE重合．已知BC=AC，由（1）可知∠DEF=45°，可知△CEG為等腰直角三角形，則CG=CE，利用“SAS”證明△BCG≌△ACE，得出結(jié)論．
解答：解：（1）AB=AE，AB⊥AE；

（2）將△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后能與△ACE重合（或?qū)ⅰ鰽CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后能與△BCG重合），
理由如下：
∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共線，
∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°，
又∵AC=BC，DF=EF，
∴∠DEF=∠D=45°，
在△CEG中，∵∠ACE=90°，
∴∠CGE+∠DEF=90°
∴∠CGE=∠DEF=45°，
∴CG=CE，
在△BCG和△ACE中，
∵，
∴△BCG≌△ACE（SAS），
∴將△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后能與△ACE重合（或?qū)ⅰ鰽CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后能與△BCG重合）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)解題．