Question

如圖，△ABC的邊AC、AB上的中線BD、CE相交于點O，M、N分別是BO、CO的中點，順次連接點D、E、M、N．
（1）求證：四邊形DEMN是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形DEMN是矩形，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由中位線定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于邊長BC的一半．分析到此，此題便可解答．
（2）連接OA，則AO∥ME∥DN；若△ABC為等腰三角形時，則OA和BC垂直，進而求出即可．

解答：證明：（1）△ABC的邊AC、AB上的中線BD、CE相交于點O，M、N分別是BO、CO的中點，
∴ED∥BC且ED=

1

2

BC，
MN∥BC且MN=

1

2

BC，
∴ED∥MN且ED=MN，
∴四邊形MNDE是平行四邊形．

（2）連接OA并延長交BC于點F；
∵E，M分別是AB，BO中點，
∴AO∥ME∥DN，
當△ABC為等腰三角形時，
∴AO⊥BC，
∵四邊形DEMN是平行四邊形，
∴EM⊥MN；
∴此時四邊形DEMN是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角形的中位線的性質定理，為證明線段相等和平行提供了依據．