Question

設直角三角形三邊為3x+3y，4x，4y，其中x，y為正數，則周長為斜邊的________倍．

Answer 1

或
分析：因為直角三角形的斜邊不確定，故分三種情況考慮：3x+3y為斜邊；4x為斜邊；4y為斜邊，每一種情況都根據勾股定理列出關于x的方程（y看做已知數），求出方程的解表示出x，代入三角形的三邊中，判斷能否構成三角形，進而用含有y的式子表示出周長和斜邊，兩者相除即可得到周長為斜邊的倍數．
解答：三角形的周長為（3x+3y）+4x+4y=7（x+y），
當3x+3y=3（x+y）為斜邊時，周長為斜邊的=；
當4x為斜邊時，根據勾股定理得：（4x）²=（3x+3y）²+（4y）²，
即7x²-18xy-25y²=0，
因式分解得：（x+y）（7x-25y）=0，
即：x+y=0或7x-25y=0，
解得：x=-y（舍去），x=y，
此時三角形三邊分別為：3x+3y=y+3y=y，4x=y，4y，滿足題意，
所以周長為7（x+y）=32y，斜邊長4x=y，
則周長為斜邊的=倍；
當4y為斜邊時，根據：（4y）²=（3x+3y）²+（4x）²，
25x²+18xy-7y²=0，
因式分解得：（x+y）（7y-25x）=0，
即：x+y=0或7y-25x=0，
解得：x=-y（舍去），x=y，
此時三角形的三邊長分別為：3x+3y=y，4x=y，4y，滿足題意，
所以周長為7（x+y）=y，斜邊為4y，
則周長為斜邊的=倍，
綜上，此三角形周長為斜邊的或倍．
故答案為：或．
點評：此題考查了勾股定理，三角形的三邊關系，以及一元二次方程的解法，本題的斜邊不確定，故三邊可能作為斜邊，應利用分類討論的思想解決問題，分情況討論時，必須認真審題，全面考慮，做到不重不漏，分類需按同一標準進行．另外在根據勾股定理列出方程后，應把y看做已知數，x未知數利用分解因式的方法來求解方程，用y表示出x，進而表示出周長與斜邊來求解．