Question

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S₁，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S₂，…，第n個正方形和第n個直角三角形的面積之和為S_n．設第一個正方形的邊長為1．
請解答下列問題：
（1）S₁=

 

；
（2）通過探究，用含n的代數式表示S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

分析：根據正方形的面積公式求出面積，再根據直角三角形三條邊的關系運用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S₁，然后利用正方形與三角形面積擴大與縮小的規律推導出公式．

解答：解：（1）∵第一個正方形的邊長為1，
∴正方形的面積為1，
又∵直角三角形一個角為30°，
∴三角形的一條直角邊為

1

2

，另一條直角邊就是

1 2-( 1 2 ) 2

=

3

2

，
∴三角形的面積為

1

2

×

3

2

÷2=

3

8

，
∴S₁=1+

3

8

；

（2）∵第二個正方形的邊長為

3

2

，它的面積就是

3

4

，也就是第一個正方形面積的

3

4

，
同理，第二個三角形的面積也是第一個三角形的面積的

3

4

，
∴S₂=（1+

3

8

）•

3

4

，依此類推，S₃=（1+

3

8

）•

3

4

•

3

4

，即S₃=（1+

3

8

）•(

3

4

)2，
S_n=（1+

3

8

）•(

3

4

)n-1（n為整數）．

點評：本題重點考查了勾股定理的運用．