Question

已知：如圖，C為半圓上一點，

AC

=

CE

，過點C作直徑AB的垂線CP，P為垂足，弦AE分別交PC，CB于點D，F．
（1）求證：AD=CD；
（2）若DF=

5

4

，tan∠ECB=

3

4

，求PB的長．

Answer 1

分析：（1）要求證：AD=CD，可以連接AC，轉化為證明∠CAD=∠ACD．
（2）已知tan∠ECB=

3

4

，就是已知∠DAP的正切值，根據△APC∽△CPB，可以根據相似三角形的對應邊的比相等求得．

解答：（1）證明：連接AC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠CEA=∠CAE．
∵∠CEA=∠CBA，
∴∠CBA=∠CAE．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵CP⊥AB，
∴∠PCB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=∠ACP，
∴∠CAE=∠ACP
∴AD=CD．（4分）

（2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，
∴∠DCF=∠CFD．
∴AD=CD=DF=

5

4

．（5分）
∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=

3

4

，
∴tan∠DAP=

DP

PA

=

3

4

．（6分）
∵DP²+PA²=DA²
∴DP=

3

4

，PA=1．
∴CP=2．（7分）
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△APC∽△CPB．（8分）
∴

AP

PC

=

PC

PB

．
∴PB=4．（9分）

點評：本題主要考查了三角函數的值是有角的大小確定的，以及相似三角形的對應邊的比相等．