Question

【題目】某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數）；

（2）當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．

（3）當售價不低于51元且不高于60元且為整數時，每個月的利潤不低于2200元（或當售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意可知y與x的函數關系式．

（2）根據題意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，當x=5.5時y有最大值．

（3）設y=2200，解得x的值．然后分情況討論解．

解：（1）由題意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40）

=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數）；

（2）由（1）中的y與x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．

∵a=﹣10＜0，∴當x=5.5時，y有最大值2402.5．

∵0＜x≤15，且x為整數，

當x=5時，50+x=55，y=2400（元），當x=6時，50+x=56，y=2400（元）

∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．

（3）當y=2200時，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．

∴當x=1時，50+x=51，當x=10時，50+x=60．

∴當售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元．

當售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元．

當售價不低于51元且不高于60元且為整數時，每個月的利潤不低于2200元（或當售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）．