Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是弧AE的中點，過點C作CD⊥AB，垂足為點G，AE交CD于點G．
（1）求證：AF=CF；
（2）若tan∠BAE=$\frac{3}{4}$，AE=8，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接AC，由垂徑定理可得$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，又由點C是弧AE的中點，可得$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，繼而證得∠ACD=∠CAE，則可證得結論；
（2）由tan∠BAE=$\frac{3}{4}$，易得FG=3x，AG=4x，CF=AF=5x，即可求得CD=16x，然后證得CD=AE，則可求得答案．

解答 （1）證明：連接AC，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∵點C是$\widehat{AE}$的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF；

（2）∵在Rt△ACG中，tan∠BAE=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠BAE=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∴設FG=3x，則AG=4x，
∴CF=AF=$\sqrt{A{G}^{2}+F{G}^{2}}$=5x，
∴CG=FG+CF=8x，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CG=16x，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，
∴CD=AE=8，
∴16x=8，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴AF=5x=$\frac{5}{2}$．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、弧與弦、圓周角的關系等知識．注意利用方程思想求解是關鍵．