Question

【題目】如圖，直線分別交軸、軸于、兩點，線段上有一動點由原點向點運動，速度為每秒個單位長度，設運動時間為秒．

直接填出兩點的坐標：：________，：________；

過點作直線截，使截得的三角形與相似，若當在某一位置時，滿足條件的直線共有條，的取值范圍是________；

如圖，過點作軸的垂線交直線于點，設以為頂點的拋物線與直線的另一交點為．

①用含的代數式分別表示________，________；

②隨著點運動，的長是否為定值？若是，請求出長；若不是，說明理由；

③設的邊上的高為，請直接寫出當為何值時，的值最大？

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（0，3）；（2）0＜t≤；（3）①﹣t，﹣t+3；②CD的長為定值，且CD=；③當t=時，h的值最大．

【解析】

（1）在直線AB的解析式中，令x=0，能得到點B的坐標；令y=0，能得到點A的坐標．

（2）此題需要注意的是“滿足條件的直線共有4條”這個條件，這四條直線中，“過P與直線AB平行的直線、過P與y軸平行的直線、過P與直線AB垂直的直線”這三條直線，點P只要在線段OA上就都能滿足“截得的三角形與△ABO相似”，所以求t的取值范圍，關鍵要看第四條，即：當∠PBO=∠BAO時，△PBO、△BAO相似，那么此時點P的位置就能確定符合條件的t的最大值，可根據這個思路解答．

（3）①根據直線AB的解析式，用t表示出點C的坐標，而點C是拋物線的頂點，且拋物線的解析式已表示為頂點式，則m、n的值可求；

②聯立直線AB與拋物線的解析式，先求出C、D點的坐標，再判斷線段CD的長是否為定值；

③由②的結論知CD是定長，那么以CD為底、點O到直線AB的距離為高即可判斷出△OCD的面積是一個定值，反過來看，若以OC為底、h為高，那么當OC最短時，h的值最大；在Rt△AOB中，顯然只有當OC⊥AB時，OC最大，此時，先由△AOB的面積求出OC的長，然后在Rt△OCA中，由射影定理求出OP的長，則t值可求．

（1）直線y=﹣x+3中，當x=0時，y=3，即 B（0，3）；

當y=0時，x=4，即 A（4，0）；

∴A（4，0）、B（0，3）．

（2）如圖，過P作l∥AB、l⊥OA、l⊥AB時，△PBO、△BAO都相似，此時點P在線段OA上時，都符合要求，所以只考慮第四種情況：

當∠PBO=∠BAO時，Rt△PBO∽Rt△BAO；

易知：tan∠PBO=tan∠BAO==；

在Rt△OBP中，OB=3，則 OP=OBtan∠PBO=3×=/span>

∴滿足條件的t的取值范圍是 0＜t≤．

（3）①由題意，知：P（t，0），則 C（t，﹣t+3），而拋物線的頂點坐標為 （﹣m，n），∴m=﹣t，n=﹣t+3；

②由①知：y=（x﹣t）2﹣t+3，聯立直線AB的解析式，有：

，解得 ，∴點C（t，﹣t+3）、D（t﹣，﹣t+）；

可求得：CD的長為定值，且CD=；

③由②知：CD的長是定值，且點O到CD的距離不變，所以△OCD的面積是定值；

在△OCD中，以OC為底、h為高，則 S△OCD=OCh，S△OCD是定值，所以當OC最短時，h最大；

在Rt△OAB中，OC為底邊AB上的高時，OC最短，此時OC⊥AB；

OC==；

在Rt△OAC中，OP===；

∴當t=時，h的值最大．