Question

3． 如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C₁處．
（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；
（2）當(dāng)AB=4，BC=4，CC₁=5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長．
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B₁到最短路徑的距離．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先將長方體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短．

解答 解：（1）如圖，
木柜的表面展開圖是矩形ABC'₁D₁或ACC₁A₁．
故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC'₁或AC₁；


（2）螞蟻沿著木柜表面矩形ABC'₁D₁爬過的路徑AC'₁的長是l₁=$\sqrt{{4}^{2}+（4+5）^{2}}$．
螞蟻沿著木柜表面矩形矩形AB₁C₁D爬過的路徑AC₁的長l₁=$\sqrt{97}$，

螞蟻沿著木柜表面ACC₁A₁爬過的路徑AC₁的長是l₂=$\sqrt{（4+4）^{2}+{5}^{2}}$．
l₁＞l₂，故最短路徑的長是l₂$\sqrt{89}$．

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即$\frac{{B}_{1}E}{A{A}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$，
則B₁E=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$•AA₁=$\frac{4}{\sqrt{89}}$•5=$\frac{20}{89}$為所求．

點(diǎn)評 此題考查了平面展開-最短路徑問題，本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．