Question

如圖，△ABC內接于⊙O，直徑BD交AC于E，過O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．
（1）求證：OF•DE=OE•2OH；
（2）若⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，求陰影部分的面積．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD是直徑，根據圓周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得，然后由O是BD的中點，DA∥OH，可得AD=2OH，則可證得OF•DE=OE•2OH；
（2）由⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的長，由，求得AD的長，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，繼而可求得BH的長，又由S_陰影=S_扇形GOB-S_△OHB，即可求得答案．
解答：（1）證明：∵BD是直徑，
∴∠DAB=90°．…（1分）
∵FG⊥AB，
∴DA∥FO．
∴△FOE∽△ADE．
∴．
即OF•DE=OE•AD．…（3分）
∵O是BD的中點，DA∥OH，
∴AD=2OH．…（4分）
∴OF•DE=OE•2OH．…（5分）

（2）解：∵⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，
∴OE=4，ED=8，OF=6．…（6分）
代入（1）中OF•DE=OE•AD，得AD=12．
∴OH=AD=6．
在Rt△OHB中，OB=2OH，
∴∠OBH=30°，
∴∠BOH=60°．
∴BH=BO•sin60°=12×=6．…（8分）
∴S_陰影=S_扇形GOB-S_△OHB=-×6×6=24π-18．（10分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、平行線等分線段定理以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數形結合思想的應用，注意證得△FOE∽△ADE是解此題的關鍵．