Question

1．如圖，面積為1的等腰直角△OA₁A₂，∠OA₂A₁=90°，且OA₂為斜邊在△OA₁A₂，外作等腰直角△OA₂A₃，以O(shè)A₃為斜邊在△OA₂A₃，外作等腰直角△OA₃A₄，以O(shè)A₄為斜邊在△OA₃A₄，外作等腰直角△OA₄A₅，…連接A₁A₃，A₃A₅，A₅A₇，…分別與OA₂，OA₄，OA₆，…交于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，記△OB₁A₃的面積為S₁，△OB₂A₅的面積為S₂，△OB₃A₇的面積為S₃，…△OB_nA_2n+1的面積為S_n，則S_n=$（\frac{1}{4}）^{n-1}×\frac{1}{3}$（用含正整數(shù)n的式子表示）．

Answer 1

分析 先根據(jù)等腰直角三角形的定義求出∠A₁OA₃=∠OA₃A₂=90°，得A₂A₃∥OA₁，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等得：${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}O}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{3}O}$，所以${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$，同理得：A₄A₅∥A₃O，同理得：${S}_{△O{B}_{2}{A}_{5}}$=${S}_{△{A}_{3}{A}_{4}{B}_{2}}$，根據(jù)已知的${S}_{△O{A}_{1}{A}_{2}}$=1，求對(duì)應(yīng)的直角邊和斜邊的長：OA₂=A₁A₂=$\sqrt{2}$，A₂A₃=OA₃=1，OA₁=2，并利用平行相似證明△A₂B₁A₃∽△OB₁A₁，列比例式可以求A₂B₁=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，根據(jù)面積公式計(jì)算S₁=$\frac{1}{3}$，同理得：S₂=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$，從而得出規(guī)律：S_n=$\frac{1}{4}$S_n-1=$（\frac{1}{4}）^{n-1}$×$\frac{1}{3}$．

解答 解：∵△OA₁A₂、△OA₂A₃是等腰直角三角形，
∴∠A₁OA₂=∠A₂OA₃=45°，
∴∠A₁OA₃=∠OA₃A₂=90°，
∴A₂A₃∥OA₁，
∴${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}O}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{3}O}$（同底等高），
∴${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$+${S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}$=${S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}$+${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$，
∴${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$，
 同理得：A₄A₅∥A₃O，
${S}_{△O{B}_{2}{A}_{5}}$=${S}_{△{A}_{3}{A}_{4}{B}_{2}}$，
∵${S}_{△O{A}_{1}{A}_{2}}$=1，
∴$\frac{1}{2}$OA₂•A₁A₂=1，
∵OA₂=A₁A₂，
∴OA₂=A₁A₂=$\sqrt{2}$，
∴A₂A₃=OA₃=1，OA₁=2，
∵A₂A₃∥OA₁，
∴△A₂B₁A₃∽△OB₁A₁，
∴$\frac{{A}_{2}{A}_{3}}{O{A}_{1}}$=$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵A₂O=$\sqrt{2}$，
∴A₂B₁=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴S₁=${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$A₁A₂•A₂B₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
同理得：OA₄=A₃A₄=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₄A₅=$\frac{1}{2}$，
∴△A₄A₅B₂∽△OA₃B₂，
∴$\frac{{A}_{4}{B}_{2}}{O{B}_{2}}$=$\frac{{A}_{4}{A}_{5}}{O{A}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴A₄B₂=$\frac{1}{3}O{A}_{4}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴S₂=${S}_{△O{A}_{5}{B}_{2}}$=${S}_{△{A}_{3}{A}_{4}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{6}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$，
所以得出規(guī)律：S_n=$\frac{1}{4}$S_n-1=$（\frac{1}{4}）^{n-1}$×$\frac{1}{3}$，
故答案為：$（\frac{1}{4}）^{n-1}$×$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定以及三角形面積的計(jì)算問題，比較復(fù)雜，書寫時(shí)小下標(biāo)較多，要認(rèn)真書寫，先根據(jù)等腰直角三角形的面積求各邊的長，利用同底等高的三角形面積相等將所求的三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而解決問題，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律．