Question

（2011•普陀區二模）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．將其繞直角頂點C逆時針旋轉一個角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如圖，當A′B′邊經過點B時，求旋轉角α的度數；
（2）在三角板旋轉的過程中，邊A′C與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥A′B′交CB′邊于點E，連接BE．
①當0°＜α＜90°時，設AD=x，BE=y，求y與x之間的函數解析式及定義域；
②當時，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉的性質可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．根據平行線DE∥A'B'分線段成比例知、及由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據相似三角形的對應邊成比例、直角三角形的性質及∠A=30°求得（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x-2．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋轉可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC為等邊三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．
∵DE∥A'B'，
∴．（1分）
由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，（1分）
∴．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴．
∵∠A=30°
∴=．（1分）
∴（0＜x＜2）（2分）
②當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴，
由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，
∴，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此時，．
當S=時，．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．（2分）
當90°＜α＜120°時，點D在AB的延長線上（如圖）．
仍設AD=x，則BD=x-2，∠DBE=90°，．
當S=時，．
整理，得x²-2x-1=0．
解得，（負值，舍去）．
即．（2分）
綜上所述：AD=1或．
點評：本題主要考查旋轉、全等三角形、解直角三角形、平行線分線段成比例等知識．解決本題的關鍵是結合圖形，分類討論．