Question

（2011•普陀區二模）如圖，矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．翻折矩形紙片，使點A與點C重合，折痕分別交AB、CD于點E、F，
（1）在圖中，用尺規作折痕EF所在的直線（保留作圖痕跡，不寫作法），并求線段EF的長；
（2）求∠EFC的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AC的垂直平分線即為EF，易得AC的值，利用∠1在不同直角三角形中的正切值可得EO的長，乘以2即為EF的值；
（2）作EH⊥CD于H，∠EFC的正弦值=BC：EF，代入計算即可．
解答：解：（1）作圖正確（2分）
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，BC=AD．
∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2
∴由勾股定理得：AC=2．（1分）
設EF與AC相交于點O，
由翻折可得AO=CO=，∠AOE=90°．
∵在Rt△ABC中，tan∠1=，
在Rt△AOE中，tan∠1=．
∴，（1分）
∴EO=．（1分）
同理：FO=．
∴EF=．（1分）

（2）過點E作EH⊥CD垂足為點H，（1分）EH=BC=2（1分）
∴sin∠EFC=．（1分）
點評：本題主要考查了解直角三角形的知識；利用∠1在不同直角三角形中相同的正切值求解是解決本題的突破點．