Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．

（1）證明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數；

（3）設DE交AB于點G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中點，求EGED的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）110°；（3）18.

【解析】

試題分析：（1）連接AD，可證AD⊥BC，根據線段垂直平分線的判定可得AB=AC，進而可證∠E=∠C；（2）利用圓內接四邊形的性質得出∠AFD=180°﹣∠E，根據三角形外角性質∠BDF=∠C+∠CFD，可求出∠BDF的度數；（3）根據cosB=，求出AB的長，再求出AE的長，再利用△AEG∽△DEA，可求出EGED得值．

試題解析：（1）證明：連接AD，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：連接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB==，BD=4，∴AB=6，∵E是弧AB的中點，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是弧AB的中點，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EGED=AE2=（3）2=18．