Question

如圖，△ABC內接于⊙O，弦AC交直徑BD于點E，AG⊥BD于點G，延長AG交BC于點F．  求證：AB²=BF•BC．

Answer 1

【答案】分析：因為直徑所對的圓周角是直角，所以作輔助線：連接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所對的圓周角相等，可得∠C=∠D，證得∠C=∠BAG，又因為∠ABG是公共角，即可證得△ABF∽△CBA；由相似三角形的對應邊成比例，即可證得AB²=BF•BC．
解答：證明：連接AD，
∵BD是直徑，∴∠BAG+∠DAG=90°
∵AG⊥BD，∴∠DAG+∠D=90°．
∴∠BAF=∠BAG=∠D
又∵∠C=∠D，
∴∠BAF=∠C．
在△ABF和△CBA中，
∵∠BAF=∠C，∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA
∴AB：BC=BF：AB，即AB²=BF×BC
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與圓的性質．解此題的關鍵是掌握輔助線的作法，在圓中，構造直徑所對的角是直角是常見輔助線，同學們應注意掌握．