Question

如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從點A出發，沿AB以每秒4cm，的速度向點B運動，同時點Q從C點出發，沿CA以3cm/s的速度向點A運動，設運動時間為x秒．
（1）當x為何值時，BP=CQ
（2）當x為何值時，PQ∥BC
（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別用x表示出線段BP和CQ的長，根據其相等求得x的值即可；
（2）當PQ∥BC時，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據得出的關系式求出x的值．
（3）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值．

解答：解：（1）依題意可得：BP=20-4x，CQ=3x
當BP=CQ時，20-4x=3x
∴x=

20

7

（秒）
答：當x=

20

7

秒時，BP=CQ   
（2）AP=4x，AB=20，AQ=30-3x，AC=30
所以當PQ‖BC時，有

AP

AB

=

AQ

AC

即：

4x

20

=

30-3x

30

…（4分）
解得：x=

10

3

（秒）
答：當x=

10

3

秒時，PQ‖BC             
（3）能．
①當△APQ∽△CQB時，有

AP

CQ

=

AQ

CB

即：

4x

3x

=

30-3x

20

解得：x=

10

9

（秒）                   
②當△APQ∽△CBQ時，有

AP

CB

=

AQ

CQ

即：

4x

20

=

30-3x

3x

解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
答：當x=

10

9

秒或x=5秒時，△APQ與△CQB相似．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，根據三角形相似得出線段比或面積比是解題的關鍵．