Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，O為AD中點，P是線段AO上一動點，以O為圓心，OP為半徑作⊙O分別交BO及BO延長線于點E，F，延長AE交BC于點H．

（1）當OP＝2時，求BH的長．

（2）當AH交⊙O于另一點G時，連接FG，DF，作DM⊥BF于點M，求證：△EFG∽△FDM．

（3）連結HO，當△EHO是直角三角形時，求OP的長．

Answer 1

【答案】（1）BH＝6；（2）見解析；（3）OP的值為或．

【解析】

(1) 在Rt△ABO中，利用勾股定理求出OB，由BH∥OA可證，由此可求出BH；

（2）根據直徑所對的圓周角為90°和垂線的定義可證明∠DMF＝∠EGF＝90°，證明△AOE≌△DOF，根據全等三角形的對應角相等可得∠EAO＝∠ODF，由此可得AH∥DF，根據兩直線平行同位角相等可證∠GEF＝∠DFM，由此可證；

（3）分∠HEO＝90°和∠EOH＝90°兩種情形畫出圖形分別求解.

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，AD∥BC，

∵AB＝3，AO＝OD＝4，

∴OB5，

∵OP＝OE＝2，

∴BE＝3，

∵BH∥OA，

∴，

∴，

∴BH＝6．

（2）如圖2中，

∵EF是直徑，

∴∠EGF＝90°，

∵DM⊥BF，

∴∠DMF＝∠EGF＝90°,

∵OA＝OD，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，

∴△AOE≌△DOF（SAS），

∴∠EAO＝∠ODF，

∴AH∥DF，

∴∠GEF＝∠DFM，

∴△EFG∽△FDM．

（3）如圖3﹣1中，當∠HEO＝90°時，

∵ABAOOBAE，

∴AE，

∴OE，

∴OP＝OE．

如圖3﹣2中，當∠EOH＝90°時，

∵BC∥AD，

∴∠BOA＝∠OBH，

∵∠BAO＝∠BOH＝90°，

∴△ABO∽△OHB，

∴，

∴，∴BH，

∵OA∥BH，

∴，

∴OE=,

∴OEOB，

∴OP＝OE，

綜上所述，OP的值為或．