Question

如果我們定義f（x）=

x

1+x

，（例如：f（5）=

5

1+5

=

5

6

），那么：
（1）猜想：f（a）+f（

1

a

）=

1

（a是正整數）
（2）根據你的猜想，試計算下面算式的值：
f（

1

2004

）+…+f（

1

2

）+f（

1

1

）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）=

2004

．

Answer 1

分析：（1）由已知的定義表示出f（a）+f（

1

a

），利用同分母分式的加法法則計算，即可得到結果為1；
（2）將所求式子第一項與最后一項結合，第二項與倒數第二項結合，依此類推，求出f（0）的值，利用得到的結論化簡，即可得到結果．

解答：解：（1）∵f（a）=

a

1+a

，f（

1

a

）=

1 a

1+ 1 a

=

1

1+a

，
∴f（a）+f（

1

a

）
=

a

1+a

+

1

1+a

=

a+1

a+1

=1；

（2）∵f（0）=

0

1+0

=0，
根據（2）化簡原式=[f（

1

2004

）+f（2004）]+…+[f（

1

2

）+f（2）]+[f（

1

1

）+f（1）]+f（0）
=1+1+…+1+0
=2004．
故答案為：（1）1；（2）2004．

點評：此題考查了分式的混合運算，屬于規律型試題，歸納總結其中的規律是解本題的關鍵．