Question

如果我們定義：“到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的開心點。”那么：

（1）如圖1，觀察并思考，△ABC的開心點有          個

（2）如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，開心點P在高CD上，且PD=，則∠APB的度數為          

（3）已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，開心點P在AC邊上，試探究PA的長。

 

Answer 1

【答案】

（1）無數；（2）90°；（3）2或.

【解析】

試題分析：（1）根據線段垂直平分線的性質可知，△ABC的開心點有無數個；（2）連接PA、PB，根據開心點的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質求出PD與AB的關系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據等腰直角三角形的性質求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數；（3）先根據勾股定理求出AC的長度，根據開心點的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據三角形的性質計算即可得解.

試題解析：（1）無數.

（2）①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，

∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°.

∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB.與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC.

②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC.

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=AD =BD，∴∠APD=∠BPD=45°. ∴∠APB=90°.

（3）∵BC=5，AB=3，∴AC=.

①若PB=PC，設PA=，則，∴，即PA=.

②若PA=PC，則PA=2.

③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能.

∴PA=2或.

考點：1.新定義；2.線段垂直平分線的性質；3.等腰（邊）三角形的性質；4.勾股定理；5.分類思想的應用.