Question

如圖，AD是圓O的切線，切點(diǎn)為A，AB是圓O的弦。過點(diǎn)B作BC//AD，交圓O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作CD//AB，交AD于點(diǎn)D。連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且ÐBCP=ÐACD。

（1）判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系，并說明理由：

（2）若AB=9，BC=6，求PC的長。    

 

Answer 1

【答案】

（1）直線PC與圓O相切（2）

【解析】解：（1）直線PC與圓O相切。理由如下：：

如圖，連接CO并延長，交圓O于點(diǎn)N，連接BN，

∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。

∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。

∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。

∵CN是圓O的直徑，∴ÐCBN=90°。

∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。

∴ÐPCO=90°，即PC^OC。

又∵點(diǎn)C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。

（2）∵AD是圓O的切線，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。

∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。

∴MC=MB。∴AB=AC。

在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，

由勾股定理，得。

設(shè)圓O的半徑為r，

在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，即。解得。

在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，∴△OMC～△OCP。

∴，即。∴。

（1）過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AD∥BC得∠ACD=∠BAC，而

∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論。

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理有BM=CM=BC=3，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AM=  。設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM－r=，在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出 ，從而由△OMC～△OCP得相似比可計(jì)算出PC。