Question

如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．過點P作直線l平行于BC，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．求PH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點；
（2）利用（1）中圖形得出C，D，E，F即可得出答案；
（3）求出MN的長度，根據勾股數的特點得出符合要求的點．
解答：解：（1）尺規作圖正確（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點）

（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，
∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點4個；

（3）如圖，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．
過點P作直線l平行于BC，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上，
∴ME=4，NE=3，
∴MN=5，
PM=4，PH=2時，HM=2構成勾股數，
同理可得：
PH″=或PH=2或PH′=3．
點評：此題主要考查了勾股定理的應用以及矩形的性質和作圖與應用作圖等知識，熟練地應用勾股定理找出勾股點是此題的難點．