Question

如圖，在平面直角坐標系中，A（0、6）、B(2

3

、2），BC⊥x軸于C，直線OB交AC于P．
（1）以O為圓心，OP為半徑作⊙O，判斷直線AC與⊙O位置關系．
（2）過B作BD⊥y軸于D，以O為圓心作半徑為r的⊙O，半徑r使D在⊙O內，C在⊙O外，以B為圓心作⊙B，半徑R，且⊙O和⊙B相切，求R、r范圍．

Answer 1

（1）∵在平面直角坐標系中，A（0、6）、B(2

3

、2），BC⊥x軸于C，
∴點C的坐標為（2

3

，0），
設直線OB的解析式為：y=kx，
∴2=2

3

k，
∴k=

3

3

x，
∴y=

3

3

x，
直線AC的解析式為：y=ax+b，
∴

b=6 2 3 a+b=0

，
解得：

a=- 3 b=6

∴y=-

3

x+6，
∵ak=-1，
∴AC⊥OB，
∴直線AC與⊙O位置關系是相切；

（2）過B作BD⊥y軸于D，
∴點D的坐標為（0，2），
∵以O為圓心作半徑為r的⊙O，半徑r使D在⊙O內，C在⊙O外，
∴2＜r＜2

3

，
在Rt△OBC中，
OB=

BC2+OC2

=

(2 3 )2+22

=4，
∵⊙O和⊙B相切，
∴R+r=4，
∴4-2

3

＜R＜2．
∴R、r范圍分別為：2＜r＜2

3

，4-2

3

＜R＜2．