Question

如圖，正方形A₁B₁B₂C₁，A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃，…，A_nB_nB_n+1C_n，按如圖所示放置，使點A₁、A₂、A₃、A_4、…、A_n在射線OA上，點B₁、B₂、B₃、B_4、…、B_n在射線OB上．若∠AOB=45°，OB₁=1，圖中陰影部分三角形的面積由小到大依次記作S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S_n=________．

Answer 1

2^2n-3
分析：根據正方形性質和等腰直角三角形性質得出OB₁=A₁B₁=1，求出A₁C₁=A₂C₁=1，A₂C₂=A₃C₂=2，A₃C₃=A₄C₃=4，根據三角形的面積公式求出S₁=×2⁰×2⁰，S₂=×2¹×2¹，S₃=×2²×2²，推出S_n=×2^n-1×2^n-1，求出即可．
解答：∵四邊形A₁B₁B₂C₁是正方形，∠O=45°，
∴∠OA₁B₁=45°，
∴OB₁=A₁B₁=1，
同理A₁C₁=A₂C₁=1，
即A₂C₂=1+1=2=A₃C₂，
A₃C₃=A₄C₃=2+2=4，
…，
∴S₁=×1×1=×2⁰×2⁰，
S₂=×2×2=×2¹×2¹
S₃=×4×4=×2²×2²，
S₄=×8×8=×2³×2³，
…
∴S_n=×2^n-1×2^n-1==2^2n-3．
故答案為：2^2n-3．
點評：本題考查了正方形性質，等腰直角三角形性質，三角形的面積的應用，解此題的關鍵是能根據求出的結果得出規律，題目比較好，有一定的難度．