Question

如圖，正方形OA₁B₁C₁的邊長為2，以O為圓心、OA₁為半徑作弧A₁C₁交OB₁于點B₂，設弧A₁C₁與邊A₁B₁、B₁C₁圍成的陰影部分面積S₁；然后以OB₂為對角線作正方形OA₂B₂C₂，又以O為圓心、OA₂為半徑作弧A₂C₂交OB₂于點B₃，設弧A₂C₂與邊A₂B₂、B₂C₂圍成的陰影部分面積為S₂；…，按此規律繼續作下去，設弧A_nC_n與邊A_nB_n、B_nC_n圍成的陰影部分面積為S_a．則S₁=

 

，S₂=

 

，…，S_n=

 

．

Answer 1

分析：第一個陰影部分的面積都等于它所在正方形的面積-扇形的面積．依此公式計算．
第二陰影部分的面積也依此計算，但要通過對角線利用勾股定理求出邊長，再計算．
第三空就要從第一、二空中找出規律，列出關系式．

解答：解：S₁=4-

90π×22

360

=4-π．
根據勾股定理得：OB₁=

4+4

=2

2

則OB₂=2，
∴B₁B₂=2

2

-2，
再根據勾股定理得：2OA₂²=（2

2

-2）²解得：OA₂²=6-4

2

．
則陰影的面積=6-4

2

-

90π×(6-4 2 )

360

=6-4

2

-

(6-4 2 )π

4

．
從上兩個空中我們可以發現規律，并用S_n=

1

2n-3

-

π

2n-1

表示．

點評：本題主要考查了扇形的面積公式，并要從中找出規律．