Question

8、如圖，已知⊙O₁和⊙O₂外切于點A，直線BD切于⊙O₁點B，交⊙O₂于C、D，直線DA交于⊙O₁點E．
求證：①∠BAC=∠ABC+∠D；
②連接BE，你還能推出哪些結論．（不再標注其他字母，不再添加輔助線，不寫推理過程）寫出五條結論即可．

Answer 1

分析：（1）可通過構建弦切角來求證．過點A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于點M，根據弦切角定理，我們可得出∠MCA=∠D，由于MA、MB都是圓O₁的切線，因此MB=MA，也就得出了∠MBA=∠MAB，也就得出了所證的結論；
（2）連接BE后，根據弦切角定理，∠ABC=∠E，由于∠MAB=∠ABC+∠D，根據（1）的結論，∠MAB=∠BAC，因此三角形EBA∽△BAC，因此可得出對應的角相等，對應的線段成比例．

解答：解：（1）過點A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于點M，
∵CB切⊙O₁于點B，MN切⊙O₁于點A，
MA=MB，
∴∠ABC=∠BAM，
∵MN切⊙O₂于點A，
∴∠CAM=∠D，又∠BAC=∠BAM+∠CAM，
∴∠BAC=∠ABC+∠D；

（2）∠EAB=∠BAC，△ABC∽△AEB，∠ABC=E，∠ABE=∠ACB，AB2=AC•AE等．

點評：本題主要考查了切線的性質，弦切角定理，切線長定理等知識點．本題中通過構建切線根據弦切角和切線長定理來得出角相等是解題的關鍵．