Question

【題目】在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G，OA⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線BF交CD的延長線于點(diǎn)F．

（I）如圖①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；

（II）如圖②，連接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．

Answer 1

【答案】（I）65°；（II）72°

【解析】

（I）如圖①，連接OB，先利用切線的性質(zhì)得∠OBF=90°，而OA⊥CD，所以∠OED=90°，利用四邊形內(nèi)角和可計(jì)算出∠AOB=130°，然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠1=∠A=25°，從而得到∠2=65°，最后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠BGF的度數(shù)；

（II）如圖②，連接OB，BO的延長線交AC于H，利用切線的性質(zhì)得OB⊥BF，再利用AC∥BF得到BH⊥AC，與（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，從而得到∠OBA=∠OAB=18°，接著計(jì)算出∠OAH=54°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BDG的度數(shù)．

解:（I）如圖①，連接OB，

∵BF為⊙O的切線，

∴OB⊥BF，

∴∠OBF=90°，

∵OA⊥CD，

∴∠OED=90°，

∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠A=（180°﹣130°）=25°，

∴∠2=90°﹣∠1=65°，

∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；

（II）如圖②，連接OB，BO的延長線交AC于H，

∵BF為⊙O的切線，

∴OB⊥BF，

∵AC∥BF，

∴BH⊥AC，

與（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=（180°﹣144°）=18°，

∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，

∴∠OAH=144°﹣90°=54°，

∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，

∴∠BDG=∠BAC=72°．