Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+3，與x軸交于點(diǎn)B（-2，0）和C，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在y軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連結(jié)BM并延長，交拋物線于D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E．當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)BM，當(dāng)∠OMB+∠OAB=∠ACO時(shí)，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖1中，首先證明△AOC是等腰直角三角形，由OM∥DE，推出△BMO∽△BDE，要使B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，只要△BOM∽△AOC，設(shè)M（0，m），可得$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，可得$\frac{|m|}{2}$=$\frac{3}{3}$，解方程即可．
（3）如圖2中，作AG⊥AC交x軸于G，BF⊥AG于F．首先證明∠FAB=∠OMB，設(shè)M（n，0），由△AFB∽△MOB，得$\frac{OM}{AF}$=$\frac{OB}{FB}$，由此列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（-2，0）代入拋物線的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²+bx+3得
-$\frac{1}{2}$×（-2）²-2b+3=0，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．

（2）如圖1中，

∵拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，與x軸交于B（-2，0），A（3，0），C（0，3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OM∥DE，
∴△BMO∽△BDE，
∵要使B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，
∴只要△BOM∽△AOC，設(shè)M（0，m），
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{|m|}{2}$=$\frac{3}{3}$，
∴m=±2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2）．

（3）如圖2中，作AG⊥AC交x軸于G，BF⊥AG于F．

∵OA=OC，∠AOC=∠GAC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45°，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45°，
∴∠FAB=∠OMB，設(shè)M（n，0），
∵∠AFB=∠BOM=90°，
∴△AFB∽△MOB，
∴$\frac{OM}{AF}$=$\frac{OB}{FB}$，∵FB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，OB=2，
∴$\frac{|n|}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴n=±10，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，10）或（0，-10），
∴AM=7或13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．