Question

我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形. 如圖,
E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn).

(1) 求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2) 如果我們對(duì)四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD添加一定的條件, 則可使四邊形EFGH成為特殊的平行四邊形, 請(qǐng)你經(jīng)過(guò)探究后直接填寫(xiě)答案：
① 當(dāng)AC＝BD時(shí), 四邊形EFGH為_(kāi)_________；
② 當(dāng)AC____BD時(shí), 四邊形EFGH為矩形；
③ 當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時(shí), 四邊形EFGH為_(kāi)_________.

Answer 1

（1）連接AC、BD，
因?yàn)镠、G，分別為AD、DC的中點(diǎn)，
所以HG∥AC，
同理EF∥AC，
所以HG∥EF；
同理可知HE∥GF．
于是四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）①由于對(duì)角線相等，
因?yàn)镠，G，分別為AD、DC的中點(diǎn)，
所以HG=AC，
同理EF=AC，
所以HG=EF；
同理可知HE=BD，
GF=BD．
又因?yàn)锳C=BD
所以HE=EF=FG=GH．
又因?yàn)槭撬倪呅蜤FGH是平行四邊形．
所以四邊形EFGH為菱形．
②由于四邊形EFGH是平行四邊形．
當(dāng)AC⊥BD時(shí)，
HE⊥EF，
故四邊形EFGH為矩形；
③由于四邊形EFGH是平行四邊形．
當(dāng)AC⊥BD時(shí)，
HE⊥EF，
故四邊形EFGH為矩形；
AC=BD時(shí)，
四邊形EFGH為正方形．

先根據(jù)中位線定理證明：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形．