Question

【題目】如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點，并與過A點的直線y=﹣x﹣1交于點C．

（1）求拋物線解析式及對稱軸；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最小？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）點M為y軸右側拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對稱軸為直線x=1；（2）存在P點坐標為（1，﹣）；（3）N點坐標為（4，﹣3）或（2，﹣1）

【解析】（1）由待定系數(shù)法求解即可；

（2）將四邊形周長最小轉化為PC+PO最小即可；

（3）利用相似三角形對應點進行分類討論，構造圖形．設出點N坐標，表示點M坐標代入拋物線解析式即可．

（1）把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx-1，得

解得

∴拋物線解析式為：y=x2x1

∴拋物線對稱軸為直線x=-＝1

（2）存在

使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小

∴取點C（0，-1）關于直線x=1的對稱點C′（2，-1），連C′O與直線x=1的交點即為P點．

設過點C′、O直線解析式為：y=kx

∴k=-

∴y=-x

則P點坐標為（1，-）

（3）當△AOC∽△MNC時，

如圖，延長MN交y軸于點D，過點N作NE⊥y軸于點E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D關于AN對稱，則N為DM中點

設點N坐標為（a，-a-1）

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴點D坐標為（0，-a1）

∵N為DM中點

∴點M坐標為（2a，a1）

把M代入y=x2x1，解得

a=4

則N點坐標為（4，-3）

當△AOC∽△CNM時，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB則點C關于直線x=1的對稱點C′即為點N

由（2）N（2，-1）

∴N點坐標為（4，-3）或（2，-1）