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【題目】在探索三角形全等的條件時,老師給出了定長線段a,b,且長度為b的邊所對的角為n°(0n90°)小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形,他們把兩個三角形重合在一起(如圖2),其中ABa,BDBCb,發現它們不全等,但他們對該圖形產生了濃厚興趣,并進行了進一步的探究:

(1)n45(如圖2),小明測得∠ABC65°,請根據小明的測量結果,求∠ABD的大;

(2)n≠45時,將△ABD沿AB翻折,得到△ABD′(如圖3),小明和小亮發現∠D′BC的大小與角度n有關,請找出它們的關系,并說明理由;

(3)如圖4,在(2)問的基礎上,過點BAD′的垂線,垂足為點E,延長AE到點F,使得EF(AD+AC),連接BF,請判斷△ABF的形狀,并說明理由.

【答案】(1)25°;(2)∠D'BC=180°﹣2n°,證明見解析;(3)等腰三角形,證明見解析.

【解析】

(1)先根據三角形的內角和得∠C70°,由等腰三角形的性質得∠BDC70°,從而得∠CBD的度數,可得結論;(2)設∠BDC=∠Cα,根據三角形的內角和與三角形外角的性質分別表示∠ABD和∠DBC,相加可得結論;(3)作垂線BT,根據角平分線的性質得:BEBT,證明RtABERtABT(HL),得AEAT,證明BEAF的垂直平分線,可得結論.

解:(1)如圖2,△ABC中,∠A45°,∠ABC65°

∴∠C180°45°65°70°,

BDBC

∴∠BDC=∠C70°,

∴∠DBC180°2×70°40°,

∴∠ABD65°40°25°

(2)如圖3,∠D'BC180°2n°,理由是:

設∠BDC=∠Cα,

∴∠DBC180°,

ADB中,∠BDC=∠DAB+ABD,

αn°+ABD

∴∠ABDα,

由翻折得:∠ABD'=∠ABDα

∴∠D'BC=∠D'BD+DBC2ABD+DBC2(αn°)+(180°2α)180°2n°

(3)ABF是等腰三角形,且BFAB,理由是:

如圖4,過BBTACT

由折疊得:∠D'BC=∠DAB

BEAF,

BEBT,

RtABERtABT中,

RtABERtABT(HL)

AEAT

ADAD'

DTD'ETC,

AT

EF,

ATEFAE

BEAF,即BEAF的垂直平分線,

BFAB,

∴△ABF是等腰三角形.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,△ ABC 和△ADE都是等邊三角形,點 B ED 的延長線上.

1)求證:△ABD≌△ACE

2)求證:AECE=BE

3)求∠BEC 的度數.

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【題目】如圖1ABC是邊長為5cm的等邊三角形,點P,Q分別從頂點AB同時出發,沿線段AB,BC運動,且它們的是速度都為1厘米/秒.當點P到達點B時,P、Q兩點停止運動.設點P的運動時間為t(秒).

1)當運動時間為t秒時,BQ的長為_____厘米,BP的長為______厘米.(用含t的式子表示)

2)當t為何值時,PBQ是直角三角形.

3)如圖2,連接AQ、CP,相交于點M,則點P,Q在運動的過程中,∠CMQ會變化嗎?若變化,則說明理由;若不變,請求出它的度數.

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【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,ABCD,D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠CEB=45°,EB與對角線AC相交于點F,設DE=x.

(1)用含x的代數式表示線段CF的長;

(2)如果把CAE的周長記作CCAE,BAF的周長記作CBAF,設=y,求y關于x的函數關系式,并寫出它的定義域;

(3)當∠ABE的正切值是時,求AB的長.

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【題目】在△ABC中,BC邊上的高AG平分∠BAC.

(1)如圖1,求證:ABAC.

(2)如圖2,點D、E在△ABC的邊BC上,ADAEBC10cm,DE6cm,求BD的長.

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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CDABH,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G,連接AGCDK

1)如圖1,求證:KE=GE

2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=ACH,求證:CAFE;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接CGAB于點N,若sinE=,AK=,求CN的長.

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【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長是2,M是高CH所在直線上的一個動點,連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接MN,則在點M運動過程中,線段MN長度的最小值是( 。

A. B. 1 C. D.

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【題目】如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1A、B兩點,并與過A點的直線y=﹣x﹣1交于點C.

(1)求拋物線解析式及對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最小?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)點My軸右側拋物線上一點,過點M作直線AC的垂線,垂足為N.問:是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與AOC相似,若存在,求出點N的坐標,若不存在,請說明理由.

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(1)求拋物線解析式及對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最。咳舸嬖,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)點My軸右側拋物線上一點,過點M作直線AC的垂線,垂足為N.問:是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與AOC相似,若存在,求出點N的坐標,若不存在,請說明理由.

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