Question

6．如圖，直線y=x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，x軸上有一點(diǎn)C（-4，0），點(diǎn)P為直線一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PO值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 作點(diǎn)C關(guān)于直線y=x+6的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接AC′，OC′交直線y=x+6于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此可得出∠BAO及∠ACC′的度數(shù)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出△ACC′是等腰直角三角形，故可得出C′點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線OC′的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線y=x+6的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接AC′，
OC′交直線y=x+6于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，
∵直線y=x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴∠BAO=45°．
∵CC′⊥AB，
∴∠ACC′=45°．
∵點(diǎn)C，C′關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，
∴AB是線段CC′的垂直平分線，
∴△ACC′是等腰直角三角形，
∴AC=AC′=2，
∴C′（-6，2）．
設(shè)直線OC′的解析式為y=kx（k≠0），則2=-6k，解得k=-$\frac{1}{3}$，
∴直線OC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．