Question

定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離.
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四點.
（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____,
當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長)為______

（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式.
（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M.
①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長;
②點D的坐標為(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x軸,垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）2；（2）（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=

解：（1）2；。
（2）∵點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，∴2≤m≤6。
當4≤m≤6時，根據定義， d=AB=2。
當2≤m＜4時，如圖，過點B作BE⊥OA于點E，
則根據定義，d=EB。
∵A(4，0)，B(m，n)，AB=2，∴EA=4－m。
∴ 
。
∴。
（3）①如圖，由（2）知，當點B在⊙O的左半圓時，d="2" ，此時，點M是圓弧M₁M₂，長2π；
當點B從B₁到B₃時，d="2" ，此時，點M是線段M₁M₃，長為8；
同理，當點B在⊙O的左半圓時，圓弧M₃M₄長2π；點B從B₂到B₄時，線段M₁M₃=8。
∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為16+4π。

②存在。如圖，
由A(4，0)，D(0，2), 得。
（i）∵M₁H₁=M₂H₂=2，
∴只要AH₁=AH₂="1," 就有△AOD∽△M₁H₁A和△AOD∽△M₂H₂A，此時OH₁=5，OH₂=3。
∵點M為線段BC的中點, BC=4，
∴OH₁=5時，m=3；OH₂=3時，m=1。
（ii）顯然，當點M₃與點D重合時，△AOD∽△AH₃M₃，此時m=－2, 與題設m≥0不符。
（iii）當點M₄右側圓弧上時，連接FM₄，其中點F是圓弧的圓心，坐標為（6，0）。
設OH₄="x," 則FH₄= x－6。
又FM₄=2，∴。
若△AOD∽△A H₂M₂，則,即,
解得（不合題意，舍去）。此時m=。
若△AOD∽△M₂H₂ A，則,即,
解得（不合題意，舍去）。
此時,點M₄在圓弧的另一半上，不合題意，舍去。
綜上所述，使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似的m的值為：m=1，m=3，m=。
（1）根據定義，當m=2，n=2時，線段BC與線段OA的距離是點A到BC的距離2。當m=5，n=2時，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長) 可由勾股定理求出：。
（2）分2≤m＜4和4≤m≤6兩種情況討論即可。
（3）①由（2）找出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形即可。
②由（2）分點M在線段上和圓弧上兩種情況討論即可。