Question

古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是（　�。�

• A、15
• B、25
• C、55
• D、1225

Answer 1

分析：圖1中求出1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數是1+2+3+…+n，即

n(n+1)

2

；圖2中1、4、9、16，…，第n個圖中點的個數是n²．然后把下列數分別代入，若解出的n是正整數，則說明符合條件就是所求．

解答：解：根據題意得：三角形數的第n個圖中點的個數為

n(n+1)

2

；
正方形數第n個圖中點的個數為n²，
A、令

n(n+1)

2

=15，解得n₁=5，n₂=-6（不合題意，舍去）；再令n²=15，n=±

15

（不合題意，都舍去）；不符合條件，錯誤；
B、令

n(n+1)

2

=25，解得n₁=

-1± 201

2

（都不合題意，舍去）；再令n²=25，n=±5；不符合條件，錯誤；
C、顯然55不是平方數，不符合條件，錯誤；
D、令

n(n+1)

2

=1225，解得n₁=49，n₂=-50（不合題意，舍去）；再令n²=1225，n₁=35，n2=-35（不合題意，舍去），符合條件，正確．
故選D．

點評：主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．