Question

如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=β，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．
（1）當β=110°，α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．
（2）探究：若β=110°，那么α為多少度，△AOD是等腰三角形？
（只要寫出探究結果）α=______．
（3）請寫出△AOD是等邊三角形時α、β的度數．α=______度； β=______度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質將△BOC繞點C按順時針方向旋轉∴190°-α=α-60°得△ADC，即可證明△COD是等邊三角形，∠ADO=∠ADC-∠CDO即可證明△AOD是直角三角形；
（2）找到變化中的不變量，然后利用旋轉及全等的性質即可做出解答；
（3）當△AOD是等邊三角形時，根據等邊三角形的性質即可求出α、β的度數．
解答：解：（1）△AOD是直角三角形，理由如下：
∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉∴190°-α=α-60°得△ADC
∴△BOC≌△ADC，∠DCO=190°-α=α-60°
∴CO=CD，∠ADC=∠BOC=α=150°
∴△COD是等邊三角形
∴∠CDO=∴190°-α=α-60°
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°
∴△AOD是直角三角形，

（2）當α=125°或110°或140°，△AOD是等腰三角形，

（3）當α=120°且β=120°，△AOD是等邊三角形．
故答案為125°或110°或140°，120，120．
點評：本題主要考查旋轉的性質和全等三角形判斷的知識點，解答本題的關鍵利用好三角形全等的知識，本題難度不大．