Question

已知拋物線經過

A（2，0）． 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．

（1）求b的值，求出點P、點B的坐標；

（2）如圖，在直線 y=x上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使△AMP≌△AMB？如果存在,試舉例驗證你的猜想；如果不存在，試說明理由．

 

         

Answer 1

解：（1）由于拋物線經過A（2，0），

所以，

解得.

所以拋物線的解析式為.    （*）

將（*）配方，得，

所以頂點P的坐標為（4，-2

令y=0，得，

解得.  所以點B的坐標是（6，0）.  

（2）在直線 y=x上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形.  

理由如下：

設直線PB的解析式為+b，把B（6,0）,P(4,-2)分別代入，得   解得

      所以直線PB的解析式為

      又直線OD的解析式為

      所以直線PB∥OD.  

     設設直線OP的解析式為，把P(4,-2)代入，得  

解得.如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形.

設直線BD的解析式為，將B(6,0)代入，得0=，所以

所以直線BD的解析式為，

解方程組得

所以D點的坐標為（2,2）

     （3）符合條件的點M存在.驗證如下：

過點P作x軸的垂線，垂足為為C，則PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等邊三角形，只要作∠PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB.因此即存在這樣的點M,使△AMP≌△AMB.