Question

如圖1，P是線段AB上的一點，在AB的同側作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，順次連接E、F、G、H．
（1）猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；
（2）當點P在線段AB的上方時，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，從而得到AD=BC，因為EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線，則可以得到EF=FG=GH=EH，根據四邊都相等的四邊形是菱形，可推出四邊形EFGH是菱形；
（2）成立，可以根據四邊都相等的四邊形是菱形判定；
（3）先將圖形補充完整，再通過角之間的關系得到∠EHG=90°，已證四邊形EFGH是菱形，則四邊形EFGH是正方形．

解答：解：
（1）四邊形EFGH是菱形．（2分）

（2）成立．（3分）
理由：連接AD，BC．（4分）
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=CB．（6分）
∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，
∴EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線．
∴EF=

1

2

BC，FG=

1

2

AD，GH=

1

2

BC，EH=

1

2

AD．
∴EF=FG=GH=EH．
∴四邊形EFGH是菱形．（7分）

（3）補全圖形，如答圖．（8分）
判斷四邊形EFGH是正方形．（9分）
理由：連接AD，BC．
∵（2）中已證△APD≌△CPB．
∴∠PAD=∠PCB．
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°．
又∵∠1=∠2．
∴∠PCB+∠2=90°．
∴∠3=90°．（11分）
∵（2）中已證GH，EH分別是△BCD，△ACD的中位線，
∴GH∥BC，EH∥AD．
∴∠EHG=90°．
又∵（2）中已證四邊形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．（12分）

點評：此題主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知識點的綜合運用及推理論證能力．