Question

如圖，已知正比例函數y=2x和反比例函數的圖象交于點A（m，﹣2）．

（1）求反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移個單位長度得到點B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結論．

Answer 1

（1）
（2）﹣1＜x＜0或x＞1。
（3）首先求出OA的長度，結合題意CB∥OA且CB=，判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OC。

解析分析：（1）設反比例函數的解析式為（k＞0），然后根據條件求出A點坐標，再求出k的值，進而求出反比例函數的解析式。
（2）直接由圖象得出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）首先求出OA的長度，結合題意CB∥OA且CB=，判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OC
解：（1）設反比例函數的解析式為（k＞0）
∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。∴A（﹣1，﹣2）。
又∵點A在上，∴，解得k=2。，
∴反比例函數的解析式為。
（2）觀察圖象可知正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍為﹣1＜x＜0或x＞1。
（3）四邊形OABC是菱形。證明如下：
∵A（﹣1，﹣2），∴。
由題意知：CB∥OA且CB=，∴CB=OA。
∴四邊形OABC是平行四邊形。
∵C（2，n）在上，∴。∴C（2，1）。
∴。∴OC=OA。
∴平行四邊形OABC是菱形。