Question

兩拋物線y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²與x軸交于同一點（非原點），且a、b、c是正數，a≠c，試判斷以a、b、c為邊的三角形的形狀．

Answer 1

解方程x²+2ax+b²=0得，
x₁=

-2a+ (2a)2-4b2

2

=-a+

a2-b2

，
x₂=

-2a- (2a)2-4b2

2

=-a-

a2-b2

，
解方程x²+2cx-b²=0得，
x₃=

-2c+ (2c)2+4b2

2

=-c+

c2+b2

，
x₄=

-2c- (2c)2+4b2

2

=-c-

c2+b2

．
∵兩拋物線y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²與x軸交于同一點，
∴方程x²+2ax+b²=0和x²+2cx-b²=0有一個相同的根，
∴①x₁=x₃，-a+

a2-b2

=-c+

c2+b2

；
移項得，c-a=

c2+b2

-

a2-b2

，
∵a≠c，
兩邊平方得，c²+a²-2ac=c²+b²+a²-b²-2

c2+b2

•

a2-b2

，
整理得，ac=

c2+b2

•

a2-b2

，
兩邊平方得，a²c²=（c²-b²）（a²-b²），
整理得，c²+b²=a²．
根據勾股定理的逆定理，可知此三角形為直角三角形．
同理，②x₂=x₄時，得相同結果；
③x₁=x₄時，解得，等式不成立；
④x₂=x₃時，解得，等式不成立．
故三角形為直角三角形．