Question

如圖，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上一動點，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足為E、F．
（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？猜想并證明你的結論．
（2）在（1）中，當點P運動到什么位置時，矩形PEMF變為正方形，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．
（2）根據AAS證△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．
解答：（1）解：當AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四邊形PEMF為矩形，
即當AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．

（2）解：當P是BC的中點時，矩形PEMF為正方形．
理由是：∵四邊形PEMF為矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，
在△BFP和△CEP中
，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四邊形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即當P是BC的中點時，矩形PEMF為正方形．
點評：本題主要考查對矩形的判定和性質，正方形的判定，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵．