Question

【題目】如圖，是的角平分線，，是的角平分線，

（1）求；

（2）繞點以每秒的速度逆時針方向旋轉秒（），為何值時；

（3）射線繞點以每秒的速度逆時針方向旋轉，射線繞點以每秒的速度順時針方向旋轉，若射線同時開始旋轉秒（）后得到，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠COE =20°；（2）當=11時，；（3）m=或

【解析】

（1）根據角平分線的定義和垂直定義即可求出∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE =45°，即可求出∠AOB，再根據角平分線的定義即可求出∠BOC，從而求出∠COE；

（2）先分別求出OC與OD重合時、OE與OD重合時和OC與OA重合時運動時間，再根據t的取值范圍分類討論，分別畫出對應的圖形，根據等量關系列出方程求出t即可；

（3）先分別求出OE與OB重合時、OC與OA重合時、OC為OA的反向延長線時運動時、OE為OB的反向延長線時運動時間，再根據m的取值范圍分類討論，分別畫出對應的圖形，根據等量關系列出方程求出m即可；

解：（1）∵，是的角平分線，

∴∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE=∠BOD =45°

∵

∴∠AOB=∠AOE＋∠BOE=130°

∵是的角平分線，

∴∠AOC=∠BOC==65°

∴∠COE=∠BOC－∠BOE=20°

（2）由原圖可知：∠COD=∠DOE－∠COE=25°，

故OC與OD重合時運動時間為25°÷5°=5s；OE與OD重合時運動時間為45°÷5°=9s；OC與OA重合時運動時間為65°÷5°=13s；

①當時，如下圖所示

∵∠AOD=∠AOB－∠BOD=40°，∠COE=20°

∴∠AOD≠∠COE

∴∠AOD＋∠COD≠∠COE＋∠COD

∴此時；

②當時，如下圖所示

∵∠AOD=∠AOB－∠BOD=40°，∠COE=20°

∴∠AOD≠∠COE

∴∠AOD－∠COD≠∠COE－∠COD

∴此時；

③當時，如下圖所示：

OC和OE旋轉的角度均為5t

此時∠AOC=65°－5t，∠DOE=5t－45°

∵

∴65－5t=5t－45

解得：t=11

綜上所述：當=11時，．

（3）OE與OB重合時運動時間為45°÷5°=9s；OC與OA重合時運動時間為65°÷10°=6．5s； OC為OA的反向延長線時運動時間為（180°＋65°）÷10=24．5s；OE為OB的反向延長線時運動時間為（180°＋45°）÷5=45s；

①當，如下圖所示

OC旋轉的角度均為10m， OE旋轉的角度均為5m

∴此時∠AOC=65°－10m，∠BOE=45°－5m

∵

∴65－10m =（45－5m）

解得：m =；

②當，如下圖所示

OC旋轉的角度均為10m， OE旋轉的角度均為5m

∴此時∠AOC=10m－65°，∠BOE=45°－5m

∵

∴10m－65=（45－5m）

解得：m =；

③當，如下圖所示

OC旋轉的角度均為10m， OE旋轉的角度均為5m

∴此時∠AOC=10m－65°，∠BOE=5m－45°

∵

∴10m－65=（5m－45）

解得：m =，不符合前提條件，故舍去；

綜上所述：m=或．