Question

【題目】若一條弧經過一個多邊形相鄰兩邊中點，并且該弧上所有點都在該多邊形的內部或邊上，則稱該弧為此兩邊中點連線的EVA弧．例如，圖1中，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果上的所有點都在△ABC的內部或邊上，則稱為DE的一條EVA弧．

（1）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D，E分別是BC，AC的中點，畫出DE的最長的EVA弧，并直接寫出此時的長；

（2）在平面直角坐標系中，已知點A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．

①若t＝1，求DE的EVA弧所在圓的圓心P的縱坐標m的取值范圍；

②若在△ABC中存在一條DE的EVA弧，使得所在圓的圓心P在△ABC的內部或邊上，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析，2π；（2）①m≤1或m≥2；②0＜t≤2

【解析】

（1）由三角函數值及等腰直角三角形性質可求得DE＝4，最長中內弧即以DE為直徑的半圓，弧DE的長即以DE為直徑的圓周長的一半；

（2）根據三角形中內弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，①當t＝1時，要注意圓心P在DE上方的中垂線上均符合要求，在DE下方時必須AC與半徑PE的夾角∠AEP滿足90°≤∠AEP＜135°；

②根據題意，t的最大值即圓心P在AC上時求得的t值，即可求解．

解：（1）如圖2，以DE為直徑畫弧，

∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，

∴AB＝8，

∵D，E分別是BC，AC的中點，

∴DE＝AB＝4，

∵DE的最長的EVA弧，是以DE為直徑的弧，

∴＝×4π＝2π；

（2）如圖3，A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），

由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FP，作EG⊥AC交FP于G，

①當t＝1時，C（4，0），

∴D（0，2），E（2，2），F（1，2），

若圓心在線段DE上方時，

設P（1，m）由三角形中內弧定義可知，圓心在線段DE上方射線FP上均可，

∴m≥2，

當圓心在線段DE下方時，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°，

∵DE∥OC

∴∠AED＝∠ACO＝45°

作EG⊥AC交直線FP于G，FG＝EF＝1，

根據三角形中內弧的定義可知，圓心在點G的下方（含點G）直線FP上時也符合要求；

∴m≤1，

綜上所述，m≤1或m≥2．

②如圖4，設圓心P在AC上，

∵P在DE中垂線上，

∴P為AE中點，作PM⊥OC于M，則PM＝3，

∴P（t，3），

∵DE∥BC

∴∠ADE＝∠AOB＝90°

∴AE＝ ，

∵PD＝PE，

∴∠AED＝∠PDE

∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，

∴∠DAE＝∠ADP

∴AP＝PD＝PE＝ AE

由三角形中內弧定義知，PD≤PM

∴AE≤3，

∴AE≤6，即≤6，

解得：t≤ ，

∵t＞0

∴0＜t≤．

如圖5，設圓心P在BC上，則P（t，0）

∴PD＝PE＝，

∵PC＝3t，CE＝AC＝，

由三角形中內弧定義知，∠PEC＜90°，

∴PE2+CE2≥PC2

∴，

∵t＞0

∴0＜t≤；

綜上所述，t的取值范圍為：0＜t≤．