Question

（11分）如圖，正方形ABCD的長為1， 點E是AD邊上的動點且從點A沿AD向D運動， 以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，為DC與EF的交點，請探索：

（1）連接CG，線段AE與CG是否相等? 請說明理由.

（2）設AE=x， CG=y， 請確定y與x的函數關系式并說明自變量的取值范圍.

（3）連接BH， 當點E運動到邊AD上的某一點時將有△BEH∽△BAE，請你指出這一點的位置，并說明理由.

 

Answer 1

（1）相等，理由見試題解析；（2）（）；（3）AE=．

【解析】

試題分析：由SAS定理可判斷△BEA≌△BGC，∴AE=CG，可得（1）（2）問的結論；由△BCG∽△EDH和△BEA≌△BGC所得結論進行等量代換，最后三角形相似的判定定理進行證明．

試題解析：（1）∵BG=EB，BC=AB，∠CBA=∠EBG，∴∠EBA=∠GBC（同角的余角相等），

∴△BEA≌△BGC，∴AE=CG；

（2）由（1）知AE=CG，∴y=x（0≤x≤1）；

（3）∵△BEA≌△BGC，∴∠A=∠BCG=90°，∴∠D=∠BCG=90°，

∵∠FEB=90°，∴∠DEH+∠EAB=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠EBA，∴∠DEH=∠GBC，∵∠D=∠BCG，∴△BCG∽△EDH，又∵△BEA≌△BGC，∴△BAE∽△EDH，∴△BCG∽△EDH，∴EH：EB=DE：AB，∴當E為DA中點時，EH：EB=EA：AB且∠HEB=∠A，即當E為DA中點時△BEH∽△BAE．

考點：1．相似三角形的判定與性質；2．全等三角形的判定與性質；3．正方形的性質．