Question

（1）如圖，AD是△ABC的中線，AB=8，AC=6則AD的取值范圍是______
A．6＜AD＜8　 B．6≤AD≤8　C．1＜AD＜7　D．1≤AD≤7
（2）在（1）問的啟發下，解決下列問題：如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF．

Answer 1

解：（1）延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，
∵AD=DM，BD=CD，∠ADC=∠MDB，
∴△ADC≌△BDM，
∴BM=AC，
在△ABM中，根據三角形三邊關系定理，得2＜AM＜14，
即2＜2AD＜14，所以AD的范圍是1＜AD＜7．
故選：C．
（2）∵△ADC≌△BDM，
∴∠M=∠CAD，BM=AC，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠MFB=∠AFE，
∴∠BMF=∠BFM，
∴BM=BF，
∴AC=BF．
分析：（1）延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，易證明△ADC≌△BDM，得到BM=AC；在△ABM中，根據三角形三邊關系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，即可得出AD的范圍；
（2）利用（1）中△ADC≌△BDM，得出∠M=∠CAD，BM=AC，進而得出∠BMF=∠BFM即可得出答案．
點評：此題考查了三角形全等的判定方法；注意此題中的輔助線的作法．能夠根據全等三角形的性質，把要求的線段和已知的線段轉換到一該三角形，根據三角形的三邊關系進行求解．