Question

（1）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC邊上一點（與點B、C不重合），連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．可猜想線段CF，BD之間的數量關系是______，位置關系是______；
（2）當點D在線段BC的延長線時，如圖②，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，給出證明，如果不成立，說明理由．

Answer 1

解：（1）CF與BD的數量關系是：CF=BD；
位置關系是：CF⊥BD；
故答案為：相等、垂直．

（2）當點D在BC的延長線上時（1）中的結論仍成立．
理由如下：
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
分析：（1）可通過證明三角形ABD和三角形ACF全等來實現．因為AD=AF，AB=AC，只要證明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC，這樣就構成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因為∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．
（2）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
點評：本題中綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定等知識，關鍵是證明三角形全等，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．