Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點．點A的橫坐標為﹣3，點B在y軸上，點P是y軸左側拋物線上的一動點，橫坐標為m，過點P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，S_{四邊形OBDC}=2S_△BPD；

（3）是否存在點P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵y=x﹣1，∴x=0時，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．

當x=﹣3時，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．

∵y=x²+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點，∴，∴，

∴拋物線的解析式為：y=x²+4x﹣1；

（2）∵P點橫坐標是m（m＜0），∴P（m，m²+4m﹣1），D（m，m﹣1）

如圖1①，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m²，

∴PD=1﹣4m﹣m²﹣1+m=﹣3m﹣m²，

∴，

解得：m₁=0（舍去），m₂=﹣2，m₃=﹣；

如圖1②，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

PD=1﹣4m﹣m²+1﹣m=2﹣4m﹣m²，

∴，

解得：m=0（舍去）或m=﹣3，

∴m=﹣，﹣2或﹣3時S_{四邊形OBDC}=2S_△BPD；

 

（3））如圖2，當∠APD=90°時，設P（a，a²+4a﹣1），則D（a，a﹣1），

∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m²，

∴DP=1﹣4m﹣m²﹣1+m=﹣3m﹣m²．

在y=x﹣1中，當y=0時，x=1，∴（1，0），∴OF=1，

∴CF=1﹣m．AF=4．∵PC⊥x軸，∴∠PCF=90°，

∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，，

∴，

解得：m=1舍去或m=﹣2，

∴P（﹣2，﹣5）

如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，

∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m²）=3m+m²．

∵PC⊥x軸，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴，

∴AD=（﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴，∴，

∴m=﹣2或m=﹣3

∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）與點A重合，舍去，

∴P（﹣2，﹣5）．