Question

如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，如圖①，然后將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM=

1

2

BD，EN=

1

2

CE，得到圖③，請(qǐng)解答下列問題：

（1）若AB=AC，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：
①在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是

 

；
②在圖③中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到圖④，請(qǐng)繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根據(jù)題意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=

1

2

BD，EN=

1

2

CE，可證△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接類比（1）中結(jié)果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．

解答：解：（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中
∵

AE=AD ∠CAE=∠BAD AC=AB

∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∵DM=

1

2

BD，EN=

1

2

CE，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
∵

BM=CN ∠ACN=∠ABM AB=AC

∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，
∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；

（2）AM=k•AN，
∠MAN=∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì)．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．本題還要會(huì)根據(jù)所求的結(jié)論運(yùn)用類比的方法求得同類題目．