Question

15．如圖，直角△ACD中，B為AD延長線上一點，且滿足AB=CD，在CD上的一點E滿足DE=DB，連接BE，F為BE中點，延長AF與過B點的DC的平行線交于點G，連接CG，求證：∠CAG=45°，AD+BG=CG．

Answer 1

分析 過E做EH⊥CD交AG延長線于點H，連接CH，令AG與CD的交點為K，由已知的邊角關系可證得CH=CA，且ACH=90°，從而得出結論，再證AD+BG=CG時，通過三角形全等證得AD=CE，BG=EK，將AD+BG換成CE+EK，只要再證得△CAK≌△CHG，即可得出結論．

解答 解：過點E做EH⊥CD交AG延長線于點H，連接CH，令AG與CD的交點為K，如圖，

∵EH∥AB，
∴∠BAF=∠EHF，
∵F為BE中點，
∴EK=BK，
在△EFH和△BFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠EHF}\\{∠EFH=∠BFA}\\{EK=BK}\end{array}\right.$，
∴△EFH≌△BFA（AAS），
∴EH=BA，FH=FA，
∴EH=BA=CD，
CE=CD-DE=AB-DB=AD，
在△CEH和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=EH}\\{∠HEC=∠CDA=90°}\\{CE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CEH≌△ADC（SAS），
∴CA=CH，∠ACD=∠CHE，∠ECH=∠DAC，
∴∠ACD+∠ECH=∠CHE+∠DAC=90°，
∴∠CAH=∠CHA=45°．
∵BG∥CD，
∴∠FEK=∠FBG，∠FKE=∠FGB，
在△EFK和△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEK=∠FBG}\\{∠FKE=∠FGB}\\{EF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EFK≌△BFG（AAS），
∴EK=BG，
∴AD+BG=CE+EK=CK，
∵FK=FG，FA=FH，
∴AK=HG，
在△CAK和△CHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AK=HG}\\{∠CAK=∠CHG=45°}\\{CH=AC}\end{array}\right.$
∴△CAK≌△CHG（SAS），
∴CK=CG，
∴AD+BG=CK=CG．
證畢．

點評 本題考查的全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是，將要證相等的角放入同一個三角形去證等腰，證相等的邊與邊的關系，將兩邊之和化成一條與其相等的邊，去證兩三角形全等，本題是一道較發雜題，做題過程中要注意別寫亂字母．