Question

如圖①，直線AB與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，OA、OB的長度分別為a和b，且滿足.

（1）判斷△AOB的形狀.

（2）如圖②，正比例函數的圖象與直線AB交于點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的長.

（3）如圖③，E為AB上一動點，以AE為斜邊作等腰直角△ADE，P為BE的中點，連結PD、PO，試問：線段PD、PO是否存在某種確定的數量關系和位置關系？寫出你的結論并證明.

Answer 1

（1）等腰直角三角形 ∵    ∴ ∴ ∵∠AOB=90° ∴△AOB為等腰直角三角形； （2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90° ∴∠MAO=∠MOB ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90° 在△MAO和△BON中 ∴△MAO≌△NOB ∴OM=BN，AM=ON，OM=BN ∴MN=ON-OM=AM-BN=5 ； （3）PO=PD且PO⊥PD 如圖，延長DP到點C，使DP=PC，連結OP、OD、OC、BC 在△DEP和△CBP ∴△DEP≌△CBP ∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135° 在△OAD和△OBC ∴△OAD≌△OBC ∴OD=OC，∠AOD=∠COB ∴△DOC為等腰直角三角形 ∴PO=PD，且PO⊥PD.